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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2: Números Reales

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4. Considere los siguientes conjuntos
A={1n/n∈N}\left\{\frac{1}{n} / n \in \mathbb{N}\right\} B={nn+1/n∈N}\left\{\frac{n}{n+1} / n \in \mathbb{N}\right\} C=(0,7)(0,7)
D=N\mathbb{N} E={n−1n2/n∈N}\left\{n-\frac{1}{n^{2}} / n \in \mathbb{N}\right\} F={1,2,3,4}\{1,2,3,4\}
G={5;5,9;5,99;…}\{5 ; 5,9 ; 5,99 ; \ldots\} H={x∈R/∣x−2∣<1}\{x \in \mathbb{R} /|x-2|<1\} I={x∈R/∣x∣>3}\{x \in \mathbb{R} /|x|>3\}
b) ¿Cuáles están acotados inferiormente?

Respuesta

Acordate que un número kk es cota inferior de nuestro conjunto si todos\textbf{todos} los elementos del conjunto son mayores o iguales que kk.

Entonces, vamos a analizar para cada conjunto si está acotado inferiormente o no. 

A =\textbf{A =} Este conjunto lo pensamos en la clase (a partir del minuto 14:30) y ahí nos dimos cuenta que este conjunto si estaba acotado inferiormente. La cota inferior es el conjunto (−∞,0](-\infty, 0], la mayor de todas las cotas inferiores es el 00, por lo tanto este es el ínfimo. Pero en clase vimos que el 00 no estaba incluido dentro del conjunto, por lo tanto, no es múnimo. 

B =\textbf{B =} Como todavía no vimos sucesiones, en el item anterior nos escribimos algunos términos de este conjunto para tratar de ganar un poco de intuición acerca de sus cotas. {12,23,34,(...),99100,(...)}\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \text{(...)}, \frac{99}{100}, \text{(...)} \} Fijate que claramente está acotado inferiormente, de hecho la cota inferior es (−∞,12](-\infty, \frac{1}{2}]. El ínfimo es 12 \frac{1}{2} y, como pertenece al conjunto, decimos que es mínimo. 
  C =\textbf{C =} Este conjunto está acotado inferiormente, fijate que el 00 es ínfimo pero no pertenece al conjunto, por lo tanto no tiene mínimo.  D =\textbf{D =} Este conjunto son todos los números naturales, que si está acotado inferiormente. El 11 es el ínfimo, que obviamente pertenece al conjunto, por lo tanto tiene mínimo.  E =\textbf{E =} Si te escribís varios términos de este conjunto, reemplazando nn por los distintos números naturales empezando desde el 11 (como hicimos en el BB), vas a ver que efectivamente está acotado inferiormente. En este caso, 00 es el ínfimo y si pertenece al conjunto (es el primer término, cuando n=1n=1), por lo tanto 00 es mínimo. 
F =\textbf{F =} Este conjunto si está acotado inferiormente. El 11 es el ínfimo y, además, pertenece al conjunto, entonces decimos que es mínimo.   G =\textbf{G =} Este conjunto también está acotado inferiormente, en este caso 55 es el ínfimo y pertenece al conjunto, así que también es mínimo.  H =\textbf{H =} En el item anterior vimos que este es el conjunto (1,3)(1,3). Obviamente está acotado inferiormente, el 11 es el ínfimo y, como no pertenece al conjunto, no es mínimo. 
I =\textbf{I =} Este es el conjunto (−∞,−3)∪(3,+∞)(-\infty, -3) \cup (3,+\infty) y vemos que no está acotado inferiormente. 
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