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$\textbf{B =}$ Como todavía no vimos sucesiones, en el item anterior nos escribimos algunos términos de este conjunto para tratar de ganar un poco de intuición acerca de sus cotas.
$\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \text{(...)}, \frac{99}{100}, \text{(...)} \} $
Fijate que claramente está acotado inferiormente, de hecho la cota inferior es $(-\infty, \frac{1}{2}]$. El ínfimo es $ \frac{1}{2}$ y, como pertenece al conjunto, decimos que es mínimo.
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Considere los siguientes conjuntos
b) ¿Cuáles están acotados inferiormente?
A=$\left\{\frac{1}{n} / n \in \mathbb{N}\right\}$ B=$\left\{\frac{n}{n+1} / n \in \mathbb{N}\right\}$ C=$(0,7)$
D=$\mathbb{N}$ E=$\left\{n-\frac{1}{n^{2}} / n \in \mathbb{N}\right\}$ F=$\{1,2,3,4\}$
G=$\{5 ; 5,9 ; 5,99 ; \ldots\}$ H=$\{x \in \mathbb{R} /|x-2|<1\}$ I=$\{x \in \mathbb{R} /|x|>3\}$
b) ¿Cuáles están acotados inferiormente?
Respuesta
Acordate que un número $k$ es cota inferior de nuestro conjunto si $\textbf{todos}$ los elementos del conjunto son mayores o iguales que $k$.
Entonces, vamos a analizar para cada conjunto si está acotado inferiormente o no.
$\textbf{A =}$ Este conjunto lo pensamos en la clase (a partir del minuto 14:30) y ahí nos dimos cuenta que este conjunto si estaba acotado inferiormente. La cota inferior es el conjunto $(-\infty, 0]$, la mayor de todas las cotas inferiores es el $0$, por lo tanto este es el ínfimo. Pero en clase vimos que el $0$ no estaba incluido dentro del conjunto, por lo tanto, no es múnimo.
$\textbf{C =}$ Este conjunto está acotado inferiormente, fijate que el $0$ es ínfimo pero no pertenece al conjunto, por lo tanto no tiene mínimo.
$\textbf{D =}$ Este conjunto son todos los números naturales, que si está acotado inferiormente. El $1$ es el ínfimo, que obviamente pertenece al conjunto, por lo tanto tiene mínimo.
$\textbf{E =}$ Si te escribís varios términos de este conjunto, reemplazando $n$ por los distintos números naturales empezando desde el $1$ (como hicimos en el $B$), vas a ver que efectivamente está acotado inferiormente. En este caso, $0$ es el ínfimo y si pertenece al conjunto (es el primer término, cuando $n=1$), por lo tanto $0$ es mínimo.
$\textbf{F =}$ Este conjunto si está acotado inferiormente. El $1$ es el ínfimo y, además, pertenece al conjunto, entonces decimos que es mínimo.
$\textbf{G =}$ Este conjunto también está acotado inferiormente, en este caso $5$ es el ínfimo y pertenece al conjunto, así que también es mínimo.
$\textbf{H =}$ En el item anterior vimos que este es el conjunto $(1,3)$. Obviamente está acotado inferiormente, el $1$ es el ínfimo y, como no pertenece al conjunto, no es mínimo.
$\textbf{I =}$ Este es el conjunto $(-\infty, -3) \cup (3,+\infty)$ y vemos que no está acotado inferiormente.